On considĂšre ici les limites de fonction lorsque l'argument $x$ tend vers l'infini : la fonction peut alors
đ DĂ©finition : Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$, signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$, contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand, c'est-Ă -dire pour les $x$ d'un intervalle $[A; +\infty[$. On note alors :
La droite d'Ă©quation $y = \ell$ est alors asymptote horizontale Ă la courbe $\mathcal{C}_f$.
đ DĂ©finition : Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$, signifie que tout intervalle $[M; +\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand, c'est-Ă -dire pour les $x$ d'un intervalle $[A; +\infty[$. On note alors :
On donne alors ci-dessous quelques limites en l'infini pour les fonctions usuelles :
| $f(x)$ | $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ | $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ |
| $\frac{1}{x}$ | $0$ | $0$ |
| $\frac{1}{x^2}$ | $0$ | $0$ |
| $\frac{1}{x^n}$ | $0$ | $0$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $0$ | Non définie |
| $x^2$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $x^3$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $x^n$ | $+\infty$ | $ \left\{ \begin{array}{ll} -\infty & \mbox{si } n \mbox{ est impair} \\ +\infty & \mbox{si } n \mbox{ est pair} \end{array} \right.$ |
| $\sqrt{x}$ | $+\infty$ | Non définie |
| $e^x$ | $+\infty$ | $0$ |
| $e^{ax}$ | $ \left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si } a>0 \\ 0 & \mbox{si } a< 0 \end{array} \right.$ | $ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } a>0 \\ +\infty & \mbox{si } a< 0 \end{array} \right.$ |
On considÚre ici les limites de fonction lorsque l'argument $x$ tend vers une valeur réelle.
đ DĂ©finition : Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en un rĂ©el $a$ signifie que tout intervalle $[M; +\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$, c'est-Ă -dire pour les $x$ d'un intervalle ouvert contenant $a$. On note alors :
La droite d'Ă©quation $x = a$ est alors asymptote verticale Ă la courbe $\mathcal{C}_f$.
On donne ci-dessous les limites classiques des fonctions inverses en $0$, selon si $x$ s'approche par valeur supérieure (on note alors $0^+$) ou par valeur inférieure (on note $0^-$) :
| $f(x)$ | $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$ | $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$ |
| $\frac{1}{x}$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\frac{1}{x^2}$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $\frac{1}{x^n}$ | $+\infty$ | $ \left\{ \begin{array}{ll} -\infty & \mbox{si } n \mbox{ est impair} \\ +\infty & \mbox{si } n \mbox{ est pair} \end{array} \right.$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $+\infty$ | Non définie |
đ DĂ©finition : Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $\ell$ en un rĂ©el $a$, signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$. On note alors :
Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $\ell$ et $\ell'$ deux valeurs rĂ©elles, et $a$ pouvant ĂȘtre rĂ©el ou valoir $\pm \infty$. Lorsqu'on somme les deux fonctions $f$ et $g$, la limite de $f+g$ en $a$ est donnĂ©e selon les rĂšgles suivantes :
| $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ | $\ell$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $\ell'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x))$ | $\ell + \ell'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | Indeterminée |
đ€ On lĂšve l'indetermination de la limite $\infty - \infty$ au cas par cas.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $\ell$ et $\ell'$ deux valeurs rĂ©elles, et $a$ pouvant ĂȘtre rĂ©el ou valoir $\pm \infty$. Lorsqu'on multiplie les deux fonctions $f$ et $g$, la limite de $f \times g$ en $a$ est donnĂ©e selon les rĂšgles suivantes :
| $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ | $\ell$ | $\ell \neq 0 $ | $0$ | $\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $\ell'$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} (f(x) \times g(x))$ | $\ell \times \ell'$ | $\infty$ | Indéterminée | $\infty$ |
đ€ Le signe du produit des infinis dĂ©pend du signe de chacun ; ainsi, $(-\infty) \times (+\infty) = -\infty$, ou alors $(-\infty) \times (-\infty) = +\infty$
đ€ On lĂšve l'indetermination de la limite $\infty \times 0$ au cas par cas.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $\ell$ et $\ell'$ deux valeurs rĂ©elles, et $a$ pouvant ĂȘtre rĂ©el ou valoir $\pm \infty$. Lorsqu'on divise les deux fonctions $f$ et $g$, la limite de $\frac{f}{g}$ en $a$ est donnĂ©e selon les rĂšgles suivantes :
| $\lim\limits_{x o a} f(x)$ | $\ell$ | $\ell \neq 0$ | $0$ | $\ell$ | $\infty$ | $\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $\ell' \neq 0$ | $0$ | $0$ | $\infty$ | $\ell'$ | $\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)$ | $\frac{\ell}{\ell'}$ | $\infty$ | Indéterminée | $0$ | $\infty$ | Indéterminée |
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I = [a; +\infty[$.
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I = [a; +\infty[$ et $\ell$ un réel.
Si pour tout $x \in I$, $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \ell = \lim_{x \to +\infty} h(x)$$ alors, par encadrement (ou par théorÚme des gendarmes) :
đ DĂ©finition - ContinuitĂ© en un point : Soit une fonction $f$ dĂ©finie sur un intervalle ouvert $I$ contenant le rĂ©el $a$. On dit que la fonction $f$ est continue en un point $a$ si et seulement si :
đ DĂ©finition - ContinuitĂ© en sur un intervalle : La fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si, et seulement si, $f$ est continue en tout point de $I$. Autrement dit :
Si une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ alors $f$ est continue en $a$. Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ alors $f$ est continue sur $I$.
đ ThĂ©orĂšme des valeurs intermĂ©diaires :
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $c$ dans l'intervalle $[a; b]$.